убедиться в необходимости чего-либо - որևէ բանի անհրաժեշտության մեջ համոզվել

убедиться на собстеенном опыте - իր սեփական փորձով համոզվել

и когда убедился, что все спят - և երբ հավաստիացավ, որ բոլորը քնած են…